Speicherbaustein - Revision history

Admin: Literaturangaben

2008-07-25T10:42:29Z

Literaturangaben

← Older revision		Revision as of 03:42, 25 July 2008
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	''Siehe auch [[Umsetzung der Gesetzmäßigkeiten für die Simulation]]''		''Siehe auch [[Umsetzung der Gesetzmäßigkeiten für die Simulation]]''

	Der Baustein ist eine Weiterentwicklung des Ansatzes von ~~Ostrowski, 1992<ref name="ostrowski_1992">'''Ostrowski, M.''' (1992): Ein universeller Baustein zur Simulation hydrologischer Prozesse, Wasser und Boden, Heft 11 (~~{{~~file\|pdf\|Ostrowski_1992_Universeller_Baustein.pdf\|PDF~~}}~~)</ref>~~ und wird detailliert bei Mehler, 2000<ref name="mehler_2000">'''Mehler, R.''' (2000): Mischwasserbehandlung - Verfahren und Modellierung, Mitteilungen des Instituts für Wasserbau und Wasserwirtschaft der TU Darmstadt, Heft 113 (siehe auch Zusammenfassung {{~~file\|pdf\|Mehler_1998_Mathematische_Herleitung.pdf\|PDF~~}}~~)</ref>~~ beschrieben. Er ermöglicht die simultane Lösung der Kontinuitätsgleichung für mehrere Prozesse ohne aufwendige Iterationen und wird nachfolgend kurz erläutert.		Der Baustein ist eine Weiterentwicklung des Ansatzes von {{:Literatur:Ostrowski_1992}} und wird detailliert bei {{:Literatur:Mehler_2000}} beschrieben. Er ermöglicht die simultane Lösung der Kontinuitätsgleichung für mehrere Prozesse ohne aufwendige Iterationen und wird nachfolgend kurz erläutert.

	Für einen Speicher, dessen Inhalt von mehreren Zu- bzw. Ablaufprozessen abhängig ist, kann die Kontinuitätsgleichung wie folgt dargestellt werden:		Für einen Speicher, dessen Inhalt von mehreren Zu- bzw. Ablaufprozessen abhängig ist, kann die Kontinuitätsgleichung wie folgt dargestellt werden:

Froehlich at 09:46, 13 September 2007

2007-09-13T09:46:39Z

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	{{HierarchieFuss}}		{{HierarchieFuss}}

	[[Kategorie:~~BlauesModell]]~~		[[Kategorie:BlueM Theorie]]
	~~[[Kategorie:BlauesModell~~ Theorie]]

Froehlich at 15:55, 17 August 2007

2007-08-17T15:55:11Z

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	Diese Funktionen werden bereichsweise linearisiert.		Diese Funktionen werden bereichsweise linearisiert.

	:<math>y(t) = A \cdot \left ( \frac{y_{i+1}-y_i}{S_{i+1}-S_i} \cdot (S(t)-S_i) + y_i \right ) ~~\quad \quad \quad \mbox{mit} \quad A = A_1 \cdot A_l \cdot A_{l+1} \cdot \ldots \cdot A_{p-1} \cdot A_p~~</math>		:<math>y(t) = A \cdot \left ( \frac{y_{i+1}-y_i}{S_{i+1}-S_i} \cdot (S(t)-S_i) + y_i \right )</math>

	:mit:		:mit:
			:<math>A = A_1 \cdot A_l \cdot A_{l+1} \cdot \ldots \cdot A_{p-1} \cdot A_p</math>
	:<code>y(t)</code> = Entnahme aus dem Speicher		:<code>y(t)</code> = Entnahme aus dem Speicher
	:<code>S(t)</code> = Speicherinhalt		:<code>S(t)</code> = Speicherinhalt
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	:<math>\frac{\mbox{d}S}{\mbox{d}t} = \sum_{j=1}^m Q_{z,j}(t) + \sum_{k=1}^m y_{k,i} + \sum_{k=1}^m m_{k,i} \cdot (S(t)-S_i)</math>		:<math>\frac{\mbox{d}S}{\mbox{d}t} = \sum_{j=1}^m Q_{z,j}(t) + \sum_{k=1}^m y_{k,i} + \sum_{k=1}^m m_{k,i} \cdot (S(t)-S_i)</math>

	:<math>\frac{\mbox{d}S}{\mbox{d}t} = \sum_{j=1}^m Q_{z,j}(t) + \sum_{k=1}^m y_{k,i} + \mbox{C}_2 \cdot (S(t)-S_i) ~~\quad \quad \quad \mbox{~~mit~~} \quad~~ \mbox{C}_2 = \sum_{k=1}^m m_{k,i}</math>		:<math>\frac{\mbox{d}S}{\mbox{d}t} = \sum_{j=1}^m Q_{z,j}(t) + \sum_{k=1}^m y_{k,i} + \mbox{C}_2 \cdot (S(t)-S_i)</math>

			:mit:
			:<math>\mbox{C}_2 = \sum_{k=1}^m m_{k,i}</math>

	Nach Ausmultiplizieren der Klammer wird die Kontinuitätsgleichung zu:		Nach Ausmultiplizieren der Klammer wird die Kontinuitätsgleichung zu:

	:<math>\frac{\mbox{d}S}{\mbox{d}t} + \mbox{C}_2 \cdot S(t) = \mbox{C}_1 ~~\quad \quad \quad \mbox{~~mit~~} \quad~~ \mbox{C}_1 = \sum_{j=1}^m Q_{z,j}(t) + \sum_{k=1}^m y_{k,i} + \mbox{C}_2 \cdot S_i</math>		:<math>\frac{\mbox{d}S}{\mbox{d}t} + \mbox{C}_2 \cdot S(t) = \mbox{C}_1</math>

			:mit:
			:<math>\mbox{C}_1 = \sum_{j=1}^m Q_{z,j}(t) + \sum_{k=1}^m y_{k,i} + \mbox{C}_2 \cdot S_i</math>

	Diese Gleichung ist eine inhomogene lineare Differentialgleichung erster Ordnung und besitzt folgende Lösung:		Diese Gleichung ist eine inhomogene lineare Differentialgleichung erster Ordnung und besitzt folgende Lösung:

	:<math>S(t) = \frac{\mbox{C}_2}{\mbox{C}_1} \cdot (1-e^{-C_1 \cdot t}) + S_0 \cdot e^{-C_1 \cdot t} ~~\quad \quad \quad \mbox{~~mit~~} \quad S_0~~ = S(t=0)</~~math~~>		:<math>S(t) = \frac{\mbox{C}_2}{\mbox{C}_1} \cdot (1-e^{-C_1 \cdot t}) + S_0 \cdot e^{-C_1 \cdot t}</math>

			:mit:
			:<code>S<sub>0</sub> = S(t=0)</code>

	Damit steht die Speicherfüllung zu jedem Zeitpunkt fest. Tritt innerhalb eines Zeitintervalls eine Bereichsüberschreitung ein, sind die Größen <code>C1</code> und <code>C2</code> mit den jeweils aktuellen Steigungen und Achsenabschnittswerten der bereichsweise linearisierten Funktionen neu zu berechnen. Die simultane Berechnung der Abgabenfunktionen wird durch Einsetzen der Speicherinhaltsgleichung in die jeweilige Geradengleichung erreicht.		Damit steht die Speicherfüllung zu jedem Zeitpunkt fest. Tritt innerhalb eines Zeitintervalls eine Bereichsüberschreitung ein, sind die Größen <code>C1</code> und <code>C2</code> mit den jeweils aktuellen Steigungen und Achsenabschnittswerten der bereichsweise linearisierten Funktionen neu zu berechnen. Die simultane Berechnung der Abgabenfunktionen wird durch Einsetzen der Speicherinhaltsgleichung in die jeweilige Geradengleichung erreicht.

Admin at 12:00, 14 May 2007

2007-05-14T12:00:26Z

← Older revision		Revision as of 05:00, 14 May 2007
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	:<math>\bar{y} = y_i + m_i \cdot \left [ -S_i + \frac{C_2}{C_1} + (1-e^{-C_1 \cdot \Delta t}) \cdot \left ( \frac{S_0}{\Delta t \cdot C_1} - \frac{C_2}{\Delta t \cdot C_1^2} \right ) \right ]</math>		:<math>\bar{y} = y_i + m_i \cdot \left [ -S_i + \frac{C_2}{C_1} + (1-e^{-C_1 \cdot \Delta t}) \cdot \left ( \frac{S_0}{\Delta t \cdot C_1} - \frac{C_2}{\Delta t \cdot C_1^2} \right ) \right ]</math>

	Mit diesem Berechnungsschema können alle Speicher, deren Prozesse bereichsweise linear zu beschreiben sind, berechnet werden. In ~~TALSIM~~ werden mit diesem Baustein die Bodenprozesse, die Speicher sowie die Transportstrecken berechnet.		Mit diesem Berechnungsschema können alle Speicher, deren Prozesse bereichsweise linear zu beschreiben sind, berechnet werden. In BlueM werden mit diesem Baustein die Bodenprozesse, die Speicher, sowie die Transportstrecken berechnet.

	==Literaturangaben==		==Literaturangaben==

Froehlich at 11:40, 8 March 2007

2007-03-08T11:40:13Z

← Older revision		Revision as of 04:40, 8 March 2007
Line 10:		Line 10:

	:mit:		:mit:
	:S(t) = Speicherinhalt des Speichers		:<code>S(t)</code> = Speicherinhalt des Speichers
	:Q<sub>zu,j</sub>(t) = Zulaufprozess		:<code>Q<sub>zu,j</sub>(t)</code> = Zulaufprozess
	:Q<sub>ab,i</sub>(t) = Ablaufprozess		:<code>Q<sub>ab,i</sub>(t)</code> = Ablaufprozess
	:m = Anzahl der Zulaufprozesse		:<code>m</code> = Anzahl der Zulaufprozesse
	:n = Anzahl der Ablaufprozesse		:<code>n</code> = Anzahl der Ablaufprozesse

	Die Entnahmeterme sind in der Regel nichtlineare Funktionen des Speicherinhaltes (z.B. die Entnahme aus dem Bodenspeicher mit den Prozessfunktionen).		Die Entnahmeterme sind in der Regel nichtlineare Funktionen des Speicherinhaltes (z.B. die Entnahme aus dem Bodenspeicher mit den Prozessfunktionen).
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	:mit:		:mit:
	:y(t) = Entnahme aus dem Speicher		:<code>y(t)</code> = Entnahme aus dem Speicher
	:S(t) = Speicherinhalt		:<code>S(t)</code> = Speicherinhalt
	:y<sub>i</sub> = Größe der Entnahme an der Stützstelle i		:<code>y<sub>i</sub></code> = Größe der Entnahme an der Stützstelle i
	:S<sub>i</sub> = Speicherinhalt an der Stützstelle i		:<code>S<sub>i</sub></code> = Speicherinhalt an der Stützstelle i
	:A = Multiplikator der Prozessgröße als Produkt aller weiteren Abhängigkeiten		:<code>A</code> = Multiplikator der Prozessgröße als Produkt aller weiteren Abhängigkeiten
	:p = Anzahl weiterer Abhängigkeiten		:<code>p</code> = Anzahl weiterer Abhängigkeiten

	[[Bild:Theorie_Abb41.gif\|thumb\|300px\|Abbildung 41: Bereichsweise linearisierte Entnahmefunktion]]		[[Bild:Theorie_Abb41.gif\|thumb\|300px\|Abbildung 41: Bereichsweise linearisierte Entnahmefunktion]]

	Für jede Entnahmefunktion kann nach Linearisierung eine Geradengleichung aufgestellt werden, die nur noch vom Speicherinhalt abhängig ist. Die Steigung "m" der Geraden ändert sich von Stützstelle zu Stützstelle.		Für jede Entnahmefunktion kann nach Linearisierung eine Geradengleichung aufgestellt werden, die nur noch vom Speicherinhalt abhängig ist. Die Steigung <code>m</code> der Geraden ändert sich von Stützstelle zu Stützstelle.

	Somit gibt es für jede vom Speicherinhalt abhängige Funktion ein bereichsweise linearisierter Verlauf entlang der Speicherfüllung. Die Funktion selbst kann mit einem für jeden Zeitschritt konstanten Faktor (A) skaliert werden, der alle weiteren Abhängigkeiten als Produkt zusammenfasst.		Somit gibt es für jede vom Speicherinhalt abhängige Funktion ein bereichsweise linearisierter Verlauf entlang der Speicherfüllung. Die Funktion selbst kann mit einem für jeden Zeitschritt konstanten Faktor (<code>A</code>) skaliert werden, der alle weiteren Abhängigkeiten als Produkt zusammenfasst.

	Die Kontinuitätsgleichung kann nun umformuliert werden zu:		Die Kontinuitätsgleichung kann nun umformuliert werden zu:
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	:<math>S(t) = \frac{\mbox{C}_2}{\mbox{C}_1} \cdot (1-e^{-C_1 \cdot t}) + S_0 \cdot e^{-C_1 \cdot t} \quad \quad \quad \mbox{mit} \quad S_0 = S(t=0)</math>		:<math>S(t) = \frac{\mbox{C}_2}{\mbox{C}_1} \cdot (1-e^{-C_1 \cdot t}) + S_0 \cdot e^{-C_1 \cdot t} \quad \quad \quad \mbox{mit} \quad S_0 = S(t=0)</math>

	Damit steht die Speicherfüllung zu jedem Zeitpunkt fest. Tritt innerhalb eines Zeitintervalls eine Bereichsüberschreitung ein, sind die Größen C1 und C2 mit den jeweils aktuellen Steigungen und Achsenabschnittswerten der bereichsweise linearisierten Funktionen neu zu berechnen. Die simultane Berechnung der Abgabenfunktionen wird durch Einsetzen der Speicherinhaltsgleichung in die jeweilige Geradengleichung erreicht.		Damit steht die Speicherfüllung zu jedem Zeitpunkt fest. Tritt innerhalb eines Zeitintervalls eine Bereichsüberschreitung ein, sind die Größen <code>C1</code> und <code>C2</code> mit den jeweils aktuellen Steigungen und Achsenabschnittswerten der bereichsweise linearisierten Funktionen neu zu berechnen. Die simultane Berechnung der Abgabenfunktionen wird durch Einsetzen der Speicherinhaltsgleichung in die jeweilige Geradengleichung erreicht.

	Allgemein ausgedrückt gilt für die mittlere Intensität aller Abgaben:		Allgemein ausgedrückt gilt für die mittlere Intensität aller Abgaben:

Froehlich at 09:42, 8 March 2007

2007-03-08T09:42:06Z

← Older revision		Revision as of 02:42, 8 March 2007
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	{{HierarchieKopf}}		{{HierarchieKopf}}

			''Siehe auch [[Umsetzung der Gesetzmäßigkeiten für die Simulation]]''

	Der Baustein ist eine Weiterentwicklung des Ansatzes von Ostrowski, 1992<ref name="ostrowski_1992">'''Ostrowski, M.''' (1992): Ein universeller Baustein zur Simulation hydrologischer Prozesse, Wasser und Boden, Heft 11 ({{file\|pdf\|Ostrowski_1992_Universeller_Baustein.pdf\|PDF}})</ref> und wird detailliert bei Mehler, 2000<ref name="mehler_2000">'''Mehler, R.''' (2000): Mischwasserbehandlung - Verfahren und Modellierung, Mitteilungen des Instituts für Wasserbau und Wasserwirtschaft der TU Darmstadt, Heft 113 (siehe auch Zusammenfassung {{file\|pdf\|Mehler_1998_Mathematische_Herleitung.pdf\|PDF}})</ref> beschrieben. Er ermöglicht die simultane Lösung der Kontinuitätsgleichung für mehrere Prozesse ohne aufwendige Iterationen und wird nachfolgend kurz erläutert.		Der Baustein ist eine Weiterentwicklung des Ansatzes von Ostrowski, 1992<ref name="ostrowski_1992">'''Ostrowski, M.''' (1992): Ein universeller Baustein zur Simulation hydrologischer Prozesse, Wasser und Boden, Heft 11 ({{file\|pdf\|Ostrowski_1992_Universeller_Baustein.pdf\|PDF}})</ref> und wird detailliert bei Mehler, 2000<ref name="mehler_2000">'''Mehler, R.''' (2000): Mischwasserbehandlung - Verfahren und Modellierung, Mitteilungen des Instituts für Wasserbau und Wasserwirtschaft der TU Darmstadt, Heft 113 (siehe auch Zusammenfassung {{file\|pdf\|Mehler_1998_Mathematische_Herleitung.pdf\|PDF}})</ref> beschrieben. Er ermöglicht die simultane Lösung der Kontinuitätsgleichung für mehrere Prozesse ohne aufwendige Iterationen und wird nachfolgend kurz erläutert.

Froehlich at 09:31, 8 March 2007

2007-03-08T09:31:41Z

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{{HierarchieKopf}}

Der Baustein ist eine Weiterentwicklung des Ansatzes von Ostrowski, 1992<ref name="ostrowski_1992">'''Ostrowski, M.''' (1992): Ein universeller Baustein zur Simulation hydrologischer Prozesse, Wasser und Boden, Heft 11 ({{file|pdf|Ostrowski_1992_Universeller_Baustein.pdf|PDF}})</ref> und wird detailliert bei Mehler, 2000<ref name="mehler_2000">'''Mehler, R.''' (2000): Mischwasserbehandlung - Verfahren und Modellierung, Mitteilungen des Instituts für Wasserbau und Wasserwirtschaft der TU Darmstadt, Heft 113 (siehe auch Zusammenfassung {{file|pdf|Mehler_1998_Mathematische_Herleitung.pdf|PDF}})</ref> beschrieben. Er ermöglicht die simultane Lösung der Kontinuitätsgleichung für mehrere Prozesse ohne aufwendige Iterationen und wird nachfolgend kurz erläutert.

Für einen Speicher, dessen Inhalt von mehreren Zu- bzw. Ablaufprozessen abhängig ist, kann die Kontinuitätsgleichung wie folgt dargestellt werden:

:<math>\frac{\mbox{d}S(t)}{\mbox{d}t} = \sum_{j=1}^m Q_{zu,j}(t) - \sum_{i=1}^n Q_{ab,i}(t)</math>

:mit:
:S(t) = Speicherinhalt des Speichers
:Qzu,j(t) = Zulaufprozess
:Qab,i(t) = Ablaufprozess
:m = Anzahl der Zulaufprozesse
:n = Anzahl der Ablaufprozesse

Die Entnahmeterme sind in der Regel nichtlineare Funktionen des Speicherinhaltes (z.B. die Entnahme aus dem Bodenspeicher mit den Prozessfunktionen).

Diese Funktionen werden bereichsweise linearisiert.

:<math>y(t) = A \cdot \left ( \frac{y_{i+1}-y_i}{S_{i+1}-S_i} \cdot (S(t)-S_i) + y_i \right ) \quad \quad \quad \mbox{mit} \quad A = A_1 \cdot A_l \cdot A_{l+1} \cdot \ldots \cdot A_{p-1} \cdot A_p</math>

:mit:
:y(t) = Entnahme aus dem Speicher
:S(t) = Speicherinhalt
:yi = Größe der Entnahme an der Stützstelle i
:Si = Speicherinhalt an der Stützstelle i
:A = Multiplikator der Prozessgröße als Produkt aller weiteren Abhängigkeiten
:p = Anzahl weiterer Abhängigkeiten

[[Bild:Theorie_Abb41.gif|thumb|300px|Abbildung 41: Bereichsweise linearisierte Entnahmefunktion]]

Für jede Entnahmefunktion kann nach Linearisierung eine Geradengleichung aufgestellt werden, die nur noch vom Speicherinhalt abhängig ist. Die Steigung "m" der Geraden ändert sich von Stützstelle zu Stützstelle.

Somit gibt es für jede vom Speicherinhalt abhängige Funktion ein bereichsweise linearisierter Verlauf entlang der Speicherfüllung. Die Funktion selbst kann mit einem für jeden Zeitschritt konstanten Faktor (A) skaliert werden, der alle weiteren Abhängigkeiten als Produkt zusammenfasst.

Die Kontinuitätsgleichung kann nun umformuliert werden zu:

:<math>\frac{\mbox{d}S}{\mbox{d}t} = \sum_{j=1}^m Q_{z,j}(t) + \sum_{k=1}^m y_{k,i} + \sum_{k=1}^m m_{k,i} \cdot (S(t)-S_i)</math>

:<math>\frac{\mbox{d}S}{\mbox{d}t} = \sum_{j=1}^m Q_{z,j}(t) + \sum_{k=1}^m y_{k,i} + \mbox{C}_2 \cdot (S(t)-S_i) \quad \quad \quad \mbox{mit} \quad \mbox{C}_2 = \sum_{k=1}^m m_{k,i}</math>

Nach Ausmultiplizieren der Klammer wird die Kontinuitätsgleichung zu:

:<math>\frac{\mbox{d}S}{\mbox{d}t} + \mbox{C}_2 \cdot S(t) = \mbox{C}_1 \quad \quad \quad \mbox{mit} \quad \mbox{C}_1 = \sum_{j=1}^m Q_{z,j}(t) + \sum_{k=1}^m y_{k,i} + \mbox{C}_2 \cdot S_i</math>

Diese Gleichung ist eine inhomogene lineare Differentialgleichung erster Ordnung und besitzt folgende Lösung:

:<math>S(t) = \frac{\mbox{C}_2}{\mbox{C}_1} \cdot (1-e^{-C_1 \cdot t}) + S_0 \cdot e^{-C_1 \cdot t} \quad \quad \quad \mbox{mit} \quad S_0 = S(t=0)</math>

Damit steht die Speicherfüllung zu jedem Zeitpunkt fest. Tritt innerhalb eines Zeitintervalls eine Bereichsüberschreitung ein, sind die Größen C1 und C2 mit den jeweils aktuellen Steigungen und Achsenabschnittswerten der bereichsweise linearisierten Funktionen neu zu berechnen. Die simultane Berechnung der Abgabenfunktionen wird durch Einsetzen der Speicherinhaltsgleichung in die jeweilige Geradengleichung erreicht.

Allgemein ausgedrückt gilt für die mittlere Intensität aller Abgaben:

:<math>\bar{y} = \frac{1}{\Delta t} \int_{t=0}^{\Delta t} A \cdot \left [ y_i \cdot S_i + m_i \cdot \left ( \frac{C_2}{C_1} \cdot ( 1 - e^{-C_1 \cdot t} ) + S_0 \cdot e^{-C_1 \cdot t} \right ) \right ]</math>

:<math>\bar{y} = y_i + m_i \cdot \left [ -S_i + \frac{C_2}{C_1} + (1-e^{-C_1 \cdot \Delta t}) \cdot \left ( \frac{S_0}{\Delta t \cdot C_1} - \frac{C_2}{\Delta t \cdot C_1^2} \right ) \right ]</math>

Mit diesem Berechnungsschema können alle Speicher, deren Prozesse bereichsweise linear zu beschreiben sind, berechnet werden. In TALSIM werden mit diesem Baustein die Bodenprozesse, die Speicher sowie die Transportstrecken berechnet.

==Literaturangaben==
<references/>

{{HierarchieFuss}}

[[Kategorie:BlauesModell]]
[[Kategorie:BlauesModell Theorie]]